一元函数微分学的几何应用

1 单调性与极值点的判别

对于函数的极值点，要求双侧邻域均有定义，即端点处不讨论极值和间断点。但需要注意的是间断点{1: 可以}是极值。对于极值定义的考法，本身并不多，但较为复杂的就是通过函数极限的保号性来判断是否为{1: 极值点}，对于无法直接求导的函数，需要把握好方法，想到用定义来做。

一阶可导点是极值点的{1: 必要条件}，但是一点可导与两边单调性{1: 无关}。

判别极值的三种充分条件

一阶导在该点处为 0，导函数在该点两侧异号。
若函数在该点处二阶可导，一阶导在该点处为 0，二阶导在该点处小于 0，则取得最大值；若二阶导在该点处大于 0，则取得最小值。
若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)} (x_{0}) = 0 (m = 1, 2, \dots, n - 1), f^{(n)} (x_{0}) \neq 0 (n ⩾ 2)$ 则当 $n$ 为偶数，且 $f^{(n)} (x_{0}) < 0 时$ ， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极大值；当 $n$ 为偶数，且 $f^{(n)} (x_{0}) > 0 时$ ， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极小值。
注：需要注意其只是充分条件，例如 $f^{''} (x_{0}) < 0$ （在 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 的条件下）是 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极大值的充分不必要条件。

对于拐点而言，需要注重其定义，有时候用来放缩很有用。之前中的凹凸不等式便是如此。

拐点的定义（常用放缩）

定义 1（弧与弦之间的关系）
- 若函数在区间上连续，且在区间上任意不同两点，恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则为凹函数。
- 若函数在区间上连续，且在区间上任意不同两点，恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则为凸函数。
- 引申：若函数为凹函数，{1: $f (λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2}) < λ_{1} f (x_{1}) + λ_{2} f (x_{2}), 其中 0 < λ_{1} < 1, 0 < λ_{2} < 1, λ_{1} + λ_{2} = 1$ }
定义 2（切线与弧线之间的关系）
- 若 $f (x)$ 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，若对 (a,b) 内的任意 x 及 $x_{0}$ （ $x \neq x_{0}$ 均有 $f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) < f (x)$
定义 3：连续曲线的凸弧和凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

若已知该点是拐点，则有该点处二阶导数为 0，