数列极限

1 数列收敛的证明

1.1 利用数列与子列的关系

若数列 an 收敛,则其任意子列{1: 均收敛}。若子列发散,则数列一定发散。更多用的是其逆否命题来进行排除。常见的就是求极限时出现三角函数或者 D(x).

数列极限定义中的 ε 可以替换为{1: 不依赖于 n}的任意小的正数,即不能与 {1:n} 有关,否则相当于对收敛速度也提出了要求。

1.2 归结原则

极限存在的条件下,函数极限和数列极限可以{1: 相互转换}。这个经常在用,不用特殊记忆,但需要理解无论是函数极限还是数列极限的定义均是{1: 去心}邻域,即极限与 x0 点没有任何关系。且一个点的连续是无法保证其他点的连续的,例如 f(x)=x2D(x) 在 0 处连续,在 x0 出不连续(利用数列与子列的关系,从无理和有理分别趋向于 x0)。

1.3 压缩映射原理

1.4 利用单调有界准则

xn+1=f(xn)f(x) 易于求导,且求导后满足 |f(x)1,则一般考虑单调有界准则。{1: 单调增有上界或单调减有下界}则可证明数列收敛。其重点在于通过放缩求上下界。

1.5 判断复合函数极限是否存在

2 数列极限的求解

2.1 利用定积分 or 夹逼准则求解

什么时候用定积分 or 夹逼准则求解

见到数列求和的极限,即 limni=1ng(n,i) ,判别 g(n,i) 是否能写成{1: f(in)1n},其方法为分别看分子、分母,若其是关于 n,i 的其次式,则可利用定积分进行求解,反之则用夹逼准则求解。

夹逼准则和定积分是出的比较难的,其本身不难,难在如何放缩,重点其实还是 函数极限与连续 中放缩不等式。

可以记住一个简单的结论,当 0<a<b 时,limn(1a)n+(1b)nn={1:1a},即{1: 较大的哪个值}.

2.2 双通项问题

若求 limnanbn,一般思路如下: {1: 先证明数列 anbn 收敛,且其应该收敛于 0。然后设 cn=anbn ,若 cn 为正,求 limncn+1cn,反之,则求 limn|cn+1cn| 。然后利用数列的保号性,转换为 0<cn+1<kcn,然后利用夹逼准则来计算。}

2.3 两个抽象函数的数列极限趋向于同一值

想办法联系起来两个抽象函数,找出其满足的同一组不等关系,然后利用夹逼准则进行证明。

3 收敛数列的性质

数列极限收敛,则有{1: 唯一性}、{1: 有界性}和{1: 保号性},唯一性主要用于收敛数列证明之后计算其极限值为什么。保号性常用于放缩证明,需要注意的是脱帽{1: 严格不等},戴帽{1: 非严格不等}。且存在 N>0 ,当 n>N 时,才有此结论。

Error

最值是比较出来的,利用保号性可知 n>N 后的项没有资格参与比较,故前有限项{1: 必有最大最小值}。

4 数列中常用公式

常见数列的前 n 项和

  • k=1nk=1+2+3++n={1:n(n+1)2}
  • k=1nk2=12+22+32++n2={1:n(n+1)(2n+1)6}