数列极限
1 数列收敛的证明
1.1 利用数列与子列的关系
若数列 收敛,则其任意子列{1: 均收敛}。若子列发散,则数列一定发散。更多用的是其逆否命题来进行排除。常见的就是求极限时出现三角函数或者 .
数列极限定义中的 可以替换为{1: 不依赖于 n}的任意小的正数,即不能与 {1:} 有关,否则相当于对收敛速度也提出了要求。
1.2 归结原则
极限存在的条件下,函数极限和数列极限可以{1: 相互转换}。这个经常在用,不用特殊记忆,但需要理解无论是函数极限还是数列极限的定义均是{1: 去心}邻域,即极限与 点没有任何关系。且一个点的连续是无法保证其他点的连续的,例如 在 0 处连续,在 出不连续(利用数列与子列的关系,从无理和有理分别趋向于 )。
1.3 压缩映射原理
- 若 , 易于求导,且求导后{1: 满足 },则由压缩映射原理可知数列 收敛。
- 若 ,, 易于求导,且求导后满足 ,{1:},则有 .
- 建立压缩映射关系:,然后通过定义说明其极限存在。
1.4 利用单调有界准则
若 , 易于求导,且求导后满足 ,则一般考虑单调有界准则。{1: 单调增有上界或单调减有下界}则可证明数列收敛。其重点在于通过放缩求上下界。
1.5 判断复合函数极限是否存在
- 设 ,若 ,,(连续时不需要该条件),则说明符合函数存在且等于 a。
- 设 ,若 在 上{1: 严格单调},且 ,则 ,即复合函数极限存在,且外严格单调,则内极限一定存在。
2 数列极限的求解
2.1 利用定积分 or 夹逼准则求解
见到数列求和的极限,即 ,判别 是否能写成{1: },其方法为分别看分子、分母,若其是关于 的其次式,则可利用定积分进行求解,反之则用夹逼准则求解。
夹逼准则和定积分是出的比较难的,其本身不难,难在如何放缩,重点其实还是 函数极限与连续 中放缩不等式。
可以记住一个简单的结论,当 时,{1:},即{1: 较大的哪个值}.
2.2 双通项问题
若求 ,一般思路如下: {1: 先证明数列 和 收敛,且其应该收敛于 0。然后设 ,若 为正,求 ,反之,则求 。然后利用数列的保号性,转换为 ,然后利用夹逼准则来计算。}
2.3 两个抽象函数的数列极限趋向于同一值
想办法联系起来两个抽象函数,找出其满足的同一组不等关系,然后利用夹逼准则进行证明。
3 收敛数列的性质
数列极限收敛,则有{1: 唯一性}、{1: 有界性}和{1: 保号性},唯一性主要用于收敛数列证明之后计算其极限值为什么。保号性常用于放缩证明,需要注意的是脱帽{1: 严格不等},戴帽{1: 非严格不等}。且存在 ,当 时,才有此结论。
最值是比较出来的,利用保号性可知 后的项没有资格参与比较,故前有限项{1: 必有最大最小值}。
4 数列中常用公式
- {1:}
- {1:}