2024-08-20

1 目标

空闲时间 规划时间 单词 政治 数学 英语 专业课 其他
11.6 9.3 1 0.75 3 2 2 0

2 今日任务

2.1 考研任务

2.2 其他任务

无

3 完成情况

3.1 时间情况

数学 英语 单词 专业课 政治 复盘 总时间
3h31m 2h4m 1h17m 0 0 16m 7h22

3.2 反思

对于任务而言，今天最大的问题其实是早上没起来，七点起来了，然后关了手机又睡觉了，然后一早上就没有了。今天早点睡把。今天阅读、政治和信号都没有搞，需要及时调整一下。

数学今天还好，第二讲整理下来其实题就那么几种，没有什么难度，主要难度还是在于放缩的度。英语每日一句今天补完了，之后每天两句，不能落下来了，补起来很费时间。但是 DAY15 这句翻译的就很抽象，frustrate 不认识，inability 脑子抽了翻译成 ability。然后后面的非谓语动词也来理解错了。

3.3 笔记

DAY15

Physicians—frustrated by their inability to cure the disease and fearing loss of hope in the patient—too often offer aggressive treatment far beyond what is scientifically justified. #anki

  • frustrate /frʌˈstreɪt/ v. 使沮丧，使挫败；阻止
  • treatment /ˈtriːtmənt/ n. 治疗，处置；对待，待遇
  • justified /ˈdʒʌstɪfaɪd/ adj. 合理的，有正当理由的

|600

翻译：医生——对无法治愈这种疾病感到沮丧，同时又担心病人失去希望——常常采用极端大胆的、远远超出科学合理性的治疗方法。

简化：Physicians—frustrated by their inability to cure the disease and fearing loss of hope in the patient—too often offer aggressive treatment far beyond what is scientifically justified.

DAY16

These leaders are living proof that prevention works and that we can manage the health problems that come naturally with age. #anki

  • prevention /prɪˈvenʃn/ n. 预防，防止

|600

翻译：这些领导人就是活生生的证据，（证明对疾病的）预防是有效的，（证明）我们能够应对随着年龄自然而来的健康问题。

简化：These leaders are living proof that prevention works and that we can manage the health problems that come naturally with age.

DAY17

When CareerSite’s agent sends out messages to those who have signed up for its service, for example, it includes only three potential jobs—those it considers the best matches. #anki

  • potential /pəˈtenʃl/ adj. 可能的，潜在的 n. 潜力，可能性
  • best match 最佳匹配

|600

翻译：例如，CareerSite 的代理向注册其服务的用户发送信息时，它只提供三个可能的工作机会——它认为最匹配的那些。

简化：When CareerSite’s agent sends out messages to those who have signed up for its service, for example, it includes only three potential jobs—those it considers the best matches.

DAY18

This,for those as yet unaware of such a disadvantage, refers to discrimination against those whose surnames begin with a letter in the lower half of the alphabet. #anki

  • as yet 至今仍, 迄今为止
  • refer to… 指的是，涉及；谈到，提及
  • discrimination /dɪˌskrɪmɪˈneɪʃn/ n. 歧视，区别对待
  • surname /ˈsɜːneɪm/ n. 姓氏，姓
  • alphabet /ˈælfəbet/ n. 字母表，字母

|600

翻译：对于那些至今还没意识到这样一种劣势的人来说，这个指的是对那些姓氏首字母位于字母表后半部分的人的歧视。

简化：This,for those as yet unaware of such a disadvantage, refers to discrimination against those whose surnames begin with a letter in the lower half of the alphabet.

数列极限

1 数列收敛的证明

1.1 利用数列与子列的关系

若数列 an 收敛，则其任意子列{1: 均收敛}。若子列发散，则数列一定发散。更多用的是其逆否命题来进行排除。常见的就是求极限时出现三角函数或者 D(x).

数列极限定义中的 ε 可以替换为{1: 不依赖于 n}的任意小的正数，即不能与 {1:n} 有关，否则相当于对收敛速度也提出了要求。

1.2 归结原则

极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以{1: 相互转换}。这个经常在用，不用特殊记忆，但需要理解无论是函数极限还是数列极限的定义均是{1: 去心}邻域，即极限与 x0 点没有任何关系。且一个点的连续是无法保证其他点的连续的，例如 f(x)=x2D(x) 在 0 处连续，在 x≠0 出不连续（利用数列与子列的关系，从无理和有理分别趋向于 x0）。

1.3 压缩映射原理

  • 若 xn+1=f(xn)，f(x) 易于求导，且求导后{1: 满足 |f′(x)|⩽k<1}，则由压缩映射原理可知数列 xn 收敛。
  • 若 xn+1=f(xn)，a=f(a)，f(x) 易于求导，且求导后满足 |f′(x)|⩽k<1，{1:|xn+1−a|=|f(xn)−f(a)|=|f′(ξ)||xn−a|⩽k|xn−a|}，则有 limn→∞xn=a.
  • 建立压缩映射关系：|xn+1−a|⩽kn∙|x1−a|,0⩽k<1，然后通过定义说明其极限存在。

1.4 利用单调有界准则

若 xn+1=f(xn)，f(x) 易于求导，且求导后满足 |f′(x)≥1，则一般考虑单调有界准则。{1: 单调增有上界或单调减有下界}则可证明数列收敛。其重点在于通过放缩求上下界。

1.5 判断复合函数极限是否存在

  • 设 y=f[g(x)],u=g(x),y=f(u)，若 limx→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=a，∃x≠x0时,g(x)≠u0（连续时不需要该条件），则说明符合函数存在且等于 a。
  • 设 un∈I，若 f(x) 在 I 上{1: 严格单调}，且 limn→∞f(un)，则 limn→∞un，即复合函数极限存在，且外严格单调，则内极限一定存在。

2 数列极限的求解

2.1 利用定积分 or 夹逼准则求解

什么时候用定积分 or 夹逼准则求解

见到数列求和的极限，即 limn→∞∑i=1ng(n,i) ，判别 g(n,i) 是否能写成{1: f(in)1n}，其方法为分别看分子、分母，若其是关于 n,i 的其次式，则可利用定积分进行求解，反之则用夹逼准则求解。

夹逼准则和定积分是出的比较难的，其本身不难，难在如何放缩，重点其实还是 函数极限与连续 中放缩不等式。

可以记住一个简单的结论，当 0<a<b 时，limn→∞(1a)n+(1b)nn={1:1a}，即{1: 较大的哪个值}.

2.2 双通项问题

若求 limn→∞anbn，一般思路如下： {1: 先证明数列 an 和 bn 收敛，且其应该收敛于 0。然后设 cn=anbn ，若 cn 为正，求 limn→∞cn+1cn，反之，则求 limn→∞|cn+1cn| 。然后利用数列的保号性，转换为 0<cn+1<kcn，然后利用夹逼准则来计算。}

2.3 两个抽象函数的数列极限趋向于同一值

想办法联系起来两个抽象函数，找出其满足的同一组不等关系，然后利用夹逼准则进行证明。

3 收敛数列的性质

数列极限收敛，则有{1: 唯一性}、{1: 有界性}和{1: 保号性}，唯一性主要用于收敛数列证明之后计算其极限值为什么。保号性常用于放缩证明，需要注意的是脱帽{1: 严格不等}，戴帽{1: 非严格不等}。且存在 N>0 ，当 n>N 时，才有此结论。

Error

最值是比较出来的，利用保号性可知 n>N 后的项没有资格参与比较，故前有限项{1: 必有最大最小值}。

4 数列中常用公式

常见数列的前 n 项和

  • ∑k=1nk=1+2+3+⋯+n={1:n(n+1)2}
  • ∑k=1nk2=12+22+32+⋯+n2={1:n(n+1)(2n+1)6}