信号与系统的概念和方法

1 信号的分类

1.1 连续信号与离散信号

{1: 定义域连续}的信号为连续信号，若其{1: 值域也连续}，则称为模拟信号。
{1: 仅在一些离散的瞬间才有定义}的信号为离散时间信号，若取值为规定的数值，则称为数字信号。

1.2 周期信号与非周期信号

判断三角信号是否是周期信号 #anki

连续时间信号，若 $w$ 是有理数，则为周期信号： $T = \frac{2 π}{w}$ .
若为离散信号，若 $w$ 是无理数，则为非周期信号，反之，则为周期信号，周期为 $\frac{2 π}{w} \dot{N}$
对于多个信号相加计算周期时，分两种情况讨论，对于连续信号而言，若两个周期之比为有理数，则为周期信号，周期为两个周期的最小公倍数；若为离散信号，只有两个周期均为有理数，才为周期函数，基本周期为两个周期的最小公倍数。

连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列；两连续周期信号之和{1: 不一定是周期信号}，但两周期序列之和{1: 一定是周期序列}。

1.3 能量有限信号和功率有限信号

有些信号既不是能量信号也不是功率信号,如 {1: $f (t) = e {#t}$ }。

2 基本信号

常用公式

基本信号的构造
- {1: $\int_{\infty}^{t} ε (τ) d τ$ }= $t ε (t)$
- $δ (t)$ ={1: $\frac{d ε (t)}{d t}$ }
- $ε (t)$ ={1: $\int_{- \infty}^{t} δ (τ) d τ$ >}
取样性质
- {1: $f (t) δ (t - a) = f (a) δ (t - a)$ }
- {1: $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - a) d t = f (a)$ }
冲击偶的性质
- $\int_{- \infty}^{\infty} δ^{'} (t) d t$ ={1: $0$ }
冲激函数的导数
- $f (t) δ^{'} (t)$ ={1: $f (0) δ^{'} (t) - f^{'} (0) δ (t)$ }
- {1: $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ^{'} (t - a) d t$ }= $- f^{'} (a)$
- {1: $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ^{(n)} (t) d t$ }= $(- 1)^{n} f^{(n)} (0)$
冲击函数的尺度变化
- $δ^{n} (a t)$ ={1: $\frac{1}{| a |} \frac{1}{a^{n}} δ^{n} (t)$ }
- $δ (a t)$ ={1: $\frac{1}{| a |} δ (t)$ }
- $δ (a t - t_{0})$ ={1: $δ [a (t - \frac{t_{0}}{a})] = \frac{1}{∣ a ∣} δ (t - \frac{t_{0}}{a})$ }
- 当 $a = - 1$ 时， $δ^{(n)} (- t)$ ={1: $(- 1)^{n} δ^{(n)} (t)$ }。则 $δ (t)$ 为偶函数， $δ^{'} (t)$ 为奇函数。
对于离散信号而言，没有其他性质，主要是取样性质，与连续信号一样，只是将第二个积分号变成了求和。计算信号时，应当注意{1: 其取值范围，看 $a$ 是否在取值范围内。}

对于形如 $δ [f (t)]$ 的冲击函数，若 $f (t) = 0$ 的所有根均为单根，则有 $δ [f (t)] = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{| f^{'} (t_{i}) |} δ (t - t_{i})$ 。若有复根，则其没有意义。

3 信号的基本运算

信号的一切操作时对 $t$ 进行的，推荐的顺序是{1: 先平移、再反转，最后进行尺度变换}。对于尺度变换而言，{1: $a > 1$ 的情况下}，波形压缩，反之则展开。对于离散信号，只有 $f (a k)$ 仅在{1: $a k$ 为整数时}才有意义。

信号变换的要点

左{1: 加}右
对于间断点处的求导，用{1: 冲激函数}来描述。
$δ (t)$ 做尺度变换时，{1: 其也要变为原来的 $\frac{1}{a}$ 倍。}

4 系统的分类

如何判断系统类型

线性：{1: 可分解性、零状态线性、零输入线性}。
时变：系统输入延迟多少时间，
- 若 $f (\cdot)$ 前出现变系数、或有反转、尺度变换，则为时变系统。若其次数>1，则为非线性。
因果与非因果：{1: $t$ 时刻零状态响应只与 $t$ 时刻和 $t$ 时刻之前的输出有关，则为因果系统。}
- 注意区分信号因果与系统因果的区别，信号因果只要求 t< $0$ 时， $f (t) = 0$ ;
稳定性：{1: 输入有界，若输出有界}，则为稳定系统，反之则不稳定。

对于 LTI 系统，其微分性质和积分性质在计算过程中很重要。即{1: $f (t) \to y_{zs} (t),则 f^{'} (t) \to y_{zs}^{'} (t)$ ； $f (t) \to y_{z s} (t),则 \int_{- \infty}^{t} f (x) d x \to \int_{- \infty}^{t} y_{z s} (x) d x$ }