一元函数微分学的概念

1 选择中常出现的一些知识点

Error

函数在一点处可导/连续，无法得到{1: 其在该点周围可导/连续}。这在一些选择题中举反例很重要。

$| x - x_{0} |$ 在 $x_{0}$ 处连续但不可导，{1: 若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 点处来连续且 $f (x_{0}) = 0$ }，则 $f (x) | x - x_{0} |$ 在 $x_{0}$ 处可导。即会改变其在该点处的可导性。

导数存在，该点处切线一定存在，但反之则{1: 不成立}。

对于一元函数而言，可导{1: 必可微}， $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导与可微两者互为{1: 充要条件}。

若 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处有二阶导数，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域内有{1:一阶导数，且一阶导数在 $x_{0}$ 处连续}。
若 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域内有{1: $1 - (n - 1)$ 阶的各阶导数}。

f (x)

与

| f (x) |

连续、可导关系

设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，则 $| f (x) |$ 在 $x_{0}$ 处连续，反之，则不成立。
若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，若 $f (x_{0}) \neq 0$ ，则带绝对值后仍可导，若 $f (x_{0}) = 0$ ，则只有{1: $f^{'} (x_{0}) = 0$ }时可导。
注：结合绝对值函数来记忆。

导函数是性质很强的函数，当导函数极限存在时，导函数在这一点处{1: 连续}。但函数没有此性质。即可以推论得到，如果一点处导函数存在，那这一点一定不是{1: 第一类间断点}。同理，如果函数可导，那么导函数可能{1: 连续或有振荡间断点}。

可微的判别