一元函数微分学的计算

1 求导公式

难记的一些求导公式

$(\arcsin x)^{'}$ ={1: $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ }
$(\arccos x)^{'}$ ={1: $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ }
$(\tan x)^{'}$ ={1: $\sec^{2} x$ }
$(\cot x)^{'}$ ={1: $- \csc^{2} x$ }
$(\arctan x)^{'}$ ={1: $\frac{1}{1 + x^{2}}$ }
$(\sec x)^{'}$ ={1: $\sec x \tan x$ }
$(\csc x)^{'}$ ={1: $- \csc x \cot x$ }
${[\begin{matrix} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) \end{matrix}]}^{'}$ ={1: $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ }
${[\begin{matrix} \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \end{matrix}]}^{'}$ ={1: $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ }

2 常考一些函数的求导方法

2.1 分段函数

分段函数在分段点处用导数定义进行求导，在非分段点处用导数公式求导。对于 $l n | x |$ 而言，求导值为 $\frac{1}{x}$ 。

2.2 反函数求导

反函数的求导公式

前提： $y = f (x)$ 为单调、可导函数，且 $f^{'} (x) \neq 0$ ，即存在反函数
一阶导数{1: $x_{y}^{'} = \frac{1}{y_{x}^{'}}$ }
二阶导数{1: $y_{x x}^{''} = \frac{x_{y y^{''}}}{(x_{y}')^{3}}$ }
试用反函数求导公式来计算下反三角函数的求导。

2.3 隐函数求导

等式左右两侧同时对 $x$ 或 $y$ 进行求导，通过解方程可以求解出其一阶导数。需要注意的是隐函数求导，和隐函数求偏导的公式不同，注意区分。

隐函数求导目前做题中出现的频率很高，本身并不难，重点是注意计算，不要跳步，注意是对谁求导。

2.4 参数方程求导

参数方程求一阶导数本身很简单，即 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ ，但对于参数方程求的二阶导数，我们最常使用的方法为 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x} = \frac{d (\frac{d y}{d x}) / d t}{d x / d t}$ ，但碰到过几道题，用这种方法很难求解，可以尝试使用 {1: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{y_{t}^{''} x_{t}^{'} - y_{t}^{'} x_{t}^{''}}{[x_{t}^{'}]^{3}}$ }（也是由之前的公式推导得到的）

2.5 对数求导法

碰到多项相乘、相除、开方的式子，先{1: 取对数在求导}，可以进行大大简化。例如，我们碰到三项相乘，我们仍然可以采用四则运算继续进行计算，但会较为复杂。若取对数化为三项相加，就能大大简化计算。同时对于四则运算的积而言，我们一般来说要求其因式不超过两项。

2.6 高阶导数求导法

高阶导数的计算分为三种：
1. 求导归纳（找规律）对于此种方法需要注意的是三角函数求导时，写成 $\sin^{'} x = \sin (x + \frac{π}{2})$ ，后面会更容易发现规律。
2. 另一种方法是莱布尼兹公式，一般出现以下形式 $f (x) • (a x^{2} + b x + c)$ , $e^{x} (1 + x^{2})$ , $(x^{3} - 1)^{n} = (x - 1)^{n} (x^{2} + x + 1)^{n}$ ，时，我们使用莱布尼兹公式：设 u,v 均 n 阶可导，则有 $(u \pm ν)^{(n)}$ ={1: $u^{(n)} \pm v^{(n)}$ }， $(u ν)^{(n)}$ ={1: $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} u^{(k)}$ }。
3. 根据泰勒公式的唯一性，进行比较系数。